Пользователь Пароль Запомнить  
Статьи

23.1. Определение двойного интеграла

В разд. 17 для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл (см. разд. 17.1.3). Решая задачу об определении объема тела и массы плоской пластинки, придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом (ДИ).

Задача об объеме. Пусть задано тело (рис. 23.1), ограниченное сверху поверхностьюснизу — конечной зам-

кнутой областью XOY и с боков — цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси OZ, а направляющей является границаD.

Рис. 23.1

Пусть(х,у) непрерывна вНайдем объем этого тела. Будем называть его цилиндрическим. Разобьем основание D на конечное число элементарных частей (элементов)в каждой из

этих частей выберем т.и построим элементарное цилинд-

рическое тело с основаниеми высотойравной

аппликате поверхности в выбранной точке. Объем такого «столбика», очевидно, равенгде— площадь элемента

Сумма объемов этих цилиндрических «столбиков» представляет собой объем ступенчатого тела, приближенно заменяющего данное тело:

(23.1)

С помощью формулы (23.1) можно найти объем Vc любой степенью точности, если число частейдостаточно велико, а их линейные размеры малы.

О: Диаметром ограниченной замкнутой фигурыD называется длина ее наибольшей хорды ЛВ, AD, ВD (рис. 23.2). Обозначим его

Рис. 23.2

Из определения следует, что фигураD, имеющая диаметрцеликом помещается внутри круга радиусомописанного из любой т. СD, как из центра. Прифигурастягивается в точку. Аналогично определяется диаметр пространственного тела.

Пусть= max— наибольший из диаметров частейПредполагая, что в формуле (23.1) число частей и неограниченно возрастаетпричем диаметр наибольшей из них становится сколь угодно ма-

лымполучим точную формулу для объема тела:

(23.2)

Задача о массе тонкой пластинки. Пусть задана тонкая пластинка D площадью S с непрерывно распределенной поверхностной плотностьюЕсли пластинка однородная, т.е. const, то ее масса определяется как Разбивая пластинку на n произвольных частейс площадьюи принимая внутри каждой частиплотность постояннойможно записатьСуммируя и переходя к пределу при получим

Обе задачи привели нас к рассмотрению сумм определенного вида. Сопоставление их связано с некоторой областью DХОУ и с заданной в ней непрерывной функцией. Суммы вида (23.1) будем называть двумерными интегральными суммами. К нахождению предела таких сумм приводят многочисленные практические задачи.

Пусть в области D задана функция(х,у). Разобьем D на части

с площадямивыбереми составим интегральную сумму

(23.3)

О: Двойным интегралом от функции(х,у) по области D называется предел суммы (23.3) приесли предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения D на частии от выбора в них точек Обозначение:

(23.4)

где ds — элемент площади; D — область интегрирования; (х,у) — подынтегральная функция;(х, y)ds — подынтегральное выражение.

Функция, для которой двойной интеграл существует, называется интегрируемой.

Возвращаясь к задачам об объеме тела и массе пластины, можно сделать вывод, что объем цилиндрического тела V численно равен двойному интегралу отвзятому по области D:

(в этом состоит геометрический смысл двойного

интеграла), а масса тонкой пластиныЗаметим, что

призначение двойного интеграла численно равно пло-

щади области интегрирования D:

Т: (существования двойного интеграла) Если функция

непрерывна в ограниченной замкнутой области D, имеющей площадь S, то двойной интегралсуществует

Так как значение двойного интеграла от(х, у), непрерывной вне зависит от вида частейто разобъем D на малые прямоугольники со сторонамиипрямыми, параллельными осям координат. При этом Выбирая затем в каждом прямоугольнике т.можно записать

где ds = dx dу — элемент площади. При составлении интегральной суммы площадкиприлегающие к границе области D, не везде имеют формы прямоугольников. Однако можно доказать, что ошибки от замены таких площадок прямоугольниками с площадямив пределе сведутся к нулю.




Нет комментариев.
Оставлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи


Обсудить в форуме. (0 комментариев)


18.1.2. Площадь криволинейной трапеции при параметрическом задании кривой
18.2. Вычисление объемов тел
18.2.1. Объем тела по известным площадям поперечных сечений
18.2.2. Объем тела вращения
18.3.1. Длина дуги в прямоугольной системе координат
18.3.2. Длина дуги кривой в параметрической форме
18.3.3. Длина дуги в полярных координатах
18.3.4. Формула дифференциала дуги
Опорный конспект № 19
19.1. Мера Лебега. Измеримые множества
19.2. Измеримые функции. Интеграл Лебега
19.3. Функции с ограниченным изменением. Интеграл Стилтьеса
Опорный конспект № 20
20.2. ОДУ 1-го порядка. Задача Коши.
20.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
20.4. Однородные ДУ 1-го порядка
20.5. Линейные ОДУ 1-го порядка
Опорный конспект № 21
21.1. Основные понятия об ОДУ 2-го порядка
21.2. ДУ 2-го порядка, допускающие понижение
21.3.1. Линейные однородные ДУ 2-го порядка. Структура общего решения
21.3.2. ЛОДУ 2n с постоянными коэффициентами
21.3.3. Структура общего решения ЛНДУ 2n
21.3.4. Метод подбора частного решения ЛНДУ 2n
21.3.5. Решение ЛНДУ 2n методом вариации произвольных постоянных
Опорный конспект № 22
22.2. Нормальные системы ОДУ и их интегрирование методом исключения
22.3. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
22.4. Дифференциальная модель химических реакций
Опорный конспект № 23
23.1. Определение двойного интеграла
23.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
23.4. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
23.5. Приложения двойных интегралов 23.5.1. Геометрические приложения
Вычисление площади криволинейной поверхности
23.5.2. Физические приложения
Вычисление моментов инерции плоской пластины
Парадоксы теории множеств
Пустое множество
Парадокс брадобрея
Равномощность множеств
Парадоксы, связанные с бесконечностью
Аксиома выбора
Неизмеримое по Лебегу множество
Вполне упорядоченные множества
Трансфинитная индукция
Парадокс Банаха—Тарского
Две важные теоремы
Свободные группы
Ординалы и кардиналы
Континуум-гипотеза
Самый большой кардинал
Множества на прямой
Игры Банаха—Мазура и аксиома детерминированности
Приложение 1. Открытые и замкнутые множества
Меры ноль. Канторово множество
Операции над множествами
Отображения множеств
Мощность множеств
Метрические пространства и непрерывные отображения
Полнота. Теорема Бэра
Несколько замечательных прямых
Теорема чевы
Теорема Чевы: случай внутренней точки
Теорема Чевы: случай внешней точки. Бесконечно удалённые точки плоскости
Теорема Чевы в форме синусов
Некоторые замечательные точки треугольника. Теорема Карно
Некоторые замечательные преобразования, связанные с теоремой Чевы
Барицентрические координаты
Система материальных точек и её центр масс
Определение барицентрических координат
Барицентрические координаты некоторых замечательных точек
Определение центральной точки
Лемма о трёх точках и две замечательные прямые
Изотомическое и изогональное сопряжения в барицентрических координатах
Изоциркулярное преобразование в барицентрических координатах
Уравнение прямой. Двойственность
Изоциркулярное преобразование и бесконечно удалённая прямая
Высшая математика

Новости
Линейная алгебра Линейная алгебра – это направление в области математики, в основе ко...
Математический анализ Математический анализ – это отрасль математики, в которой функции и ...
Календарь Календарь — это система организации дней в соответствии с социально...
Нобелевская премия Пять известных Нобелевских премий были учреждены в соответствии с посл...
Электронная библиотека Электронная библиотека включает в себя цифровые коллекции информации...
Реклама
Рейтинг
 



 
   
0.0856