23.1. Определение двойного интеграла

В разд. 17 для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл (см. разд. 17.1.3). Решая задачу об определении объема тела и массы плоской пластинки, придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом (ДИ).

Задача об объеме. Пусть задано тело (рис. 23.1), ограниченное сверху поверхностьюснизу — конечной зам-

кнутой областью XOY и с боков — цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси OZ, а направляющей является границаD.

Рис. 23.1

Пусть(х,у) непрерывна вНайдем объем этого тела. Будем называть его цилиндрическим. Разобьем основание D на конечное число элементарных частей (элементов)в каждой из

этих частей выберем т.и построим элементарное цилинд-

рическое тело с основаниеми высотойравной

аппликате поверхности в выбранной точке. Объем такого «столбика», очевидно, равенгде— площадь элементаСумма объемов этих цилиндрических «столбиков» представляет собой объем ступенчатого тела, приближенно заменяющего данное тело:

(23.1)

С помощью формулы (23.1) можно найти объем Vc любой степенью точности, если число частейдостаточно велико, а их линейные размеры малы.

О: Диаметром ограниченной замкнутой фигурыD называется длина ее наибольшей хорды ЛВ, AD, ВD (рис. 23.2). Обозначим его

Рис. 23.2

Из определения следует, что фигураD, имеющая диаметрцеликом помещается внутри круга радиусомописанного из любой т. СD, как из центра. Прифигурастягивается в точку. Аналогично определяется диаметр пространственного тела.

Пусть= max— наибольший из диаметров частейПредполагая, что в формуле (23.1) число частей и неограниченно возрастаетпричем диаметр наибольшей из них становится сколь угодно ма-

лымполучим точную формулу для объема тела:

(23.2)

Задача о массе тонкой пластинки. Пусть задана тонкая пластинка D площадью S с непрерывно распределенной поверхностной плотностьюЕсли пластинка однородная, т.е. const, то ее масса определяется как Разбивая пластинку на n произвольных частейс площадьюи принимая внутри каждой частиплотность постояннойможно записатьСуммируя и переходя к пределу при получим

Обе задачи привели нас к рассмотрению сумм определенного вида. Сопоставление их связано с некоторой областью DХОУ и с заданной в ней непрерывной функцией. Суммы вида (23.1) будем называть двумерными интегральными суммами. К нахождению предела таких сумм приводят многочисленные практические задачи.

Пусть в области D задана функция(х,у). Разобьем D на части с площадямивыбереми составим интегральную сумму

(23.3)

О: Двойным интегралом от функции(х,у) по области D называется предел суммы (23.3) приесли предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения D на частии от выбора в них точек Обозначение:

(23.4)

где ds — элемент площади; D — область интегрирования; (х,у) — подынтегральная функция;(х, y)ds — подынтегральное выражение.

Функция, для которой двойной интеграл существует, называется интегрируемой.

Возвращаясь к задачам об объеме тела и массе пластины, можно сделать вывод, что объем цилиндрического тела V численно равен двойному интегралу отвзятому по области D:

(в этом состоит геометрический смысл двойного

интеграла), а масса тонкой пластиныЗаметим, что

призначение двойного интеграла численно равно пло-

щади области интегрирования D:

Т: (существования двойного интеграла) Если функция

непрерывна в ограниченной замкнутой области D, имеющей площадь S, то двойной интегралсуществует

Так как значение двойного интеграла от(х, у), непрерывной вне зависит от вида частейто разобъем D на малые прямоугольники со сторонамиипрямыми, параллельными осям координат. При этом Выбирая затем в каждом прямоугольнике т.можно записать

где ds = dx dу — элемент площади. При составлении интегральной суммы площадкиприлегающие к границе области D, не везде имеют формы прямоугольников. Однако можно доказать, что ошибки от замены таких площадок прямоугольниками с площадямив пределе сведутся к нулю.

03 августа 2010
Что еще почитать
Комментарии к новости

Написать ответ
Ваше имя

Ваш e-mail

Сообщение

Введите текст, который вы видите на картинке слева.

Регистр не важен. Нажмите, если не можете прочитать

Предварительный просмотр

10 апреля da Vinci Xi — новая версия хирургической системы da Vinci.
3 марта Водонепроницаемый смартфон от WickedLeak по цене всего 19900 рупий.
3 февраля Компания Huawei выпустила для европейского рынка новый смартфон на базе ОС Android, получивший название Ascend Y530.
21 января Mircomax выпустила новинку Canvas XL A119 на рынок смартфонов среднего сегмента, работающих на базе ОС Android.