2. Асимптотические разложения.

Асимптотические разложения заданных и искомых функций широко распространены при применении аналитических методов построения решения. Обычно это — разложения по целым (иногда целым и полуцелым) положительным или отрицательным степеням независимой переменной либо параметра, входящего в уравнение. Такие разложения используются как для вычисления значений решения, так и для исследования его поведения; в частности, асимптотические формулы, о которых говорилось в п. 1, обычно получаются, если в асимптотическом разложении оставить 1 — 2 первых члена.

Будем здесь рассматривать разложение решения по степеням независимой переменной. При разложении вблизи конечного значения t =по положительным степеням t — часто применяются формула Тейлора или метод неопределенных коэффициентов. Приведем простой пример: пусть мы хотим получить разложение решения задачи Коши

(5.4)

по степеням t. Для этого воспользуемся формулой Тейлора

(5.5)

где индекс нуль означает подстановку значения t = 0. Из начального условия и уравнения (5.4) имеем= 1,

Дифференцируя обе части уравнения (5.4) пополучаем

откуда, подставляя значение t = 0, находим последовательно

Подставляя эти значения в формулу (5.5), приходим к разложению

(5.6)

При желании его нетрудно продолжить. Им удобно пользоваться при сравнительно малых |t|, например, при \t\ < 0,1. При дальнейшем увеличении t уравнение надо решать численно с помощью какого-либо из дискретных методов. При некотором значении t = Т > 1 происходит обострение решения — оно обращается в бесконечность. Это обнаруживается по переполнению ячеек памяти ЭВМ; чтобы найти значение Т, можно также, сделав в задаче (5.4) замену х = 1/у, подсчитать, при каком значении t функция y(t) перейдет через значение у = 0.

Разложение (5.6) можно получить также по методу неопределенных коэффициентов. Для этого надо подставить выражениев уравнение и начальное условие (5.4) и, раскрыв скобки, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях t. Мы предоставляем читателю проделать соответствующие вычисления.

Асимптотические разложения при t → ∞ обычно имеют вид

(5.7)

где g — некоторая известная функция, а ряд, стоящий в скобках, вообще говоря, сходится асимптотически. Последнее означает, что для каждого n = 0, 1, 2, ... при всех достаточно больших t имеет место неравенство

(постоянная в правой части зависит от n). При этом не требуется, чтобы ряд был сходящимся в обычном смысле, а если он сходится, то чтобы его сумма, умноженная на g(t), равнялась x(t); поэтому в формуле (5.7) применен не знак «=», а знак «~» (который, правда, в математическом анализе применяется и в другом смысле). Тем не менее, оставляя у ряда лишь конечное число первых членов, мы получаем асимптотические формулы для x(t), тем более точные при больших t, чем больше членов взято. На практике обычно принимают, что погрешность получающейся приближенной формулы близка к первому из отброшенных членов ряда, хотя теоретически это не всегда так.

Приведем в качестве примера асимптотическое разложение так называемой функции ошибок:

появляющейся во многих приложениях математики. Для этого проведем интегрирование по частям:

откуда

Повторение этой процедуры, которое мы предоставляем читателю, приводит к равенствам:

= (5.8)

С помощью правила Лопиталя нетрудно проверить, что последнее слагаемое внутри скобок при х → ∞ имеет порядок очередной отрицательной степени х; например,

Таким образом, в пределе из (5.8) получается асимптотическое разложение

(5.9)

Применяя признак Даламбера сходимости рядов, легко проверить, что полученный ряд расходится для всех х. Однако это не мешает применению формулы (5.9) как для получения асимптотических формул для erf x (например,

так и для вычисления значений этой функции. Отметим, кстати, что, как это следует из равенств (5.8), обрывая ряд в (5.9) все дальше и дальше, мы получаем в правой части значения попеременно то большие, то меньшие левой части. Например, при х = 2,5 частичные суммы ряда последовательно равны 0,4; 0,368; 0,37568; 0,372608; 0,3743283; 0,3730897; 0,3741796; 0,3730462; 0,3744062... Мы видим, что эти суммы сначала как бы сходятся, но потом разбалтываются, и чем дальше, тем разбалтывание сильнее. Для последовательных пар из приведенных значений наиболее близки друг к другу 6-е и 7-е; руководствуясь ими, получаем значение 0,3736 ± 0,006, что приводит к результату

с погрешностью, меньшей единицы последнего разряда.

Приведем еще один полезный пример. Пусть нас интересует ненулевое решение линейного дифференциального уравнения

(5.10)

ограниченное при t → ∞. Записав разложение при t = 0:

можно с помощью метода неопределенных коэффициентов построить разложения двух линейно независимых решений уравнения (5.10):

(5.11)

что мы предоставляем сделать читателю. Общее решение уравнения (5.10) имеет вид

(5.12)

где— произвольные постоянные. С другой стороны,

из разложения при t → ∞

(5.13)

мы видим, что при больших t уравнение (5.10) близко к уравнению

которое имеет линейно независимые решенияи. Это дает основание для того, чтобы искать асимптотическое разложение решения, ограниченного при t → ∞ да, в форме

Подстановка этого разложения в уравнение (5.13) с учетом формулы (5 A3) и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях t приводит к разложению искомого решения (проверьте!)

(5.14)

Коэффициентостался произвольным, и так как решение определено с точностью до произвольного постоянного множителя, будем считать, что= 1. Отметим, что полученный ряд сходится к решению лишь асимптотически, так что более правильно в (5.14) писать знак ~.

Построенному решению x(t) соответствуют вполне определенные значенияив формуле (5.12), т. е. вполне определенное асимптотическое разложение при t = 0. Таким образом, возникает задача «склеивания» («сшивания») асимптотических разложений при t = 0 и t = ∞, Задача склеивания иногда решается точно, однако чаще, как и в данном случае, ее приходится решать с помощью численного интегрирования. Для этого можно, исходя из разложений (5.11) и (5.14) и численно интегрируя уравнение (5.10), продолжать решения в положительном направлении, a x(t) — в отрицательном направлении оси t, пока все они не попадут на общий интервал оси t. После этого найти коэффициентыне составляет труда.

03 августа 2010
Что еще почитать
Комментарии к новости
Цитировать
В этой теме обсуждается материал 2. Асимптотические разложения..

Асимптотические разложения заданных и искомых функций широко распространены при применении аналитических методов построения решения. Обычно это — разложения по целым (иногда целым и полуцелым) положительным или отрицательным степеням независимой переменной либо параметра, входящего в уравнение. Такие разложения используются как для вычисления значений решения, так и для исследования его поведения; в частности, асимптотические формулы, о которых говорилось в п. 1, обычно получаются, если в асимптотическом разложении оставить 1 — 2 первых члена.
Администратор

66 сообщений
Редактировать / Цитировать
Меня заинтересовала последняя задача, которую автор не полностью исследовал.

Задача: есть уравнение (5.10) и нас интересует решение, ограниченное при t->\infty.

Что получил автор:
1) ассимптотику (5.11), (5.12) при t->0, где фигурируют два неизвестных параметра $C_1$ и $C_2$, которые определяются начальными условиями.
2) ассимптотику (5.14) с одним неизвестным параметром (осталась лишь одна степень свободы в выборе параметра, так как вторая исезла за счёт того, что нас интересует лишь решение, ограниченное при t->\infty.).

Интересно, как эти ассимптотики сшить. Понятно, что должно существовать какое-то условие на $C_1$ и $C_2$ чтобы остался лишь один неизвестный параметр. Но какое это условие? Можно ли получить его аналитически? А если численно, то как? Автор как-будто даёт способ, но я его совершенно не понял. И кроме того, этот оставшийся неизвестный параметр должен определятся из $a_0$ в (5.14). Опять же, можно ли записать здесь аналитическое выражение? Если нет, то как это вычислять численно?

Было-бы хорошо, что бы автор сам провёл некоторые рассчёты и в форме графиков (зависимоть $C_1(C_2)$ и $a_0(C_2)$ например) представил их здесь.

С уважением.

Андрій

Написать ответ
Ваше имя

Ваш e-mail

Сообщение

Введите текст, который вы видите на картинке слева.

Регистр не важен. Нажмите, если не можете прочитать

Предварительный просмотр

10 апреля da Vinci Xi — новая версия хирургической системы da Vinci.
3 марта Водонепроницаемый смартфон от WickedLeak по цене всего 19900 рупий.
3 февраля Компания Huawei выпустила для европейского рынка новый смартфон на базе ОС Android, получивший название Ascend Y530.
21 января Mircomax выпустила новинку Canvas XL A119 на рынок смартфонов среднего сегмента, работающих на базе ОС Android.