18.2. Вычисление объемов тел

18.2.1. Объем телапо известным площадям поперечных сечений

Известны площади сечений S(x) телаплоскостями

18.2.2. Объем тела вращения

Криволинейная трапеция D,

вращается вокруг оси ОХ

Криволинейная трапеция D,

x = 0 вращается вокруг оси OY

18.3. Вычисление длины дуги кривой L

18.3.1. Длина дуги в прямоугольной системе координат

18.3.2. Длина дуги при параметрическом задании L

18.3.2. Длина дуги в полярных координатах

18.1. Вычисление площади плоской фигуры

18.1.1. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

а) Пусть фигура D имеет границу

Еслина [а ,b], то D — криволинейная трапеция и

Прина [a,b] D расположена ниже оси ОХ и

Отсюда следует, что если (х) конечное число раз меняет знак на [а,b] (рис. 18.1), то

Рис. 18.1

Пример:(рис. 18.1, б).

+

б) Пусть фигура D имеет границу

Площадь (рис. 18.2, а),

Рис. 18.2

поэтому имеем формулу

В общем случае площадь вычисляется по формуле

Пример:(рис. 18.2, б).

18.1.2. Площадь криволинейной трапеции при параметрическом задании кривой

Пусть криволинейная трапеция D имеет границу

Тогда методом подстановки получаем формулу

Пример:

Рис. 18.3

18.1.3. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах

О: Полярной системой координат называется совокупность т. О (полюса) и выходящей из этой точки направленной полупрямой(полярной оси). Полярными координатами т.М называются числа(полярный радиус) и

(полярный угол) (рис. 18.4, а).

Рис. 18.4

Если считать, чтото между точками плоскости и парами чиселустанавливается взаимно однозначное соответствие.

Пусть начало прямоугольной системы координат ХОY совпадает с полюсом, а положительная часть оси ОХ— с полярной осью. Тогда зависимость между координатами т.М в декартовой и полярной системах определяется формулами (рис. 18.4, б).

(18.1)

При нахождениинеобходимо учитывать, в какой четверти находится т. М, так как формулы (18.1) дают два значения полярного угла от 0 до

Линия в полярной системе координат определяется уравнениемНапример, r = a, a = const — уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом а (рис. 18.5, а);— уравнение так называемой трехлепестковой розы (рис. 18.5, б).

Рис. 18.5

О: Криволинейным сектором в полярной системе координат называется фигура D с границей (рис. 18.6, а).

Для вычисления площади криволинейного сектора разобьем его на п частей лучамиПусть

— длина некоторого радиус-вектора, расположенного в(рис. 18.6, б).

Рис. 18.6

Площадь «ступенчатого» сектора, состоящего из п круговых секторов с центральными угламии радиусами

За площадь криволинейного сектора естественно принять

Так как в правой части этого уравнения стоит интегральная сумма для функциина отрезкето окончательно

имеем

Пример: Вычислить площадь, ограниченную трехлепестко-вой розой(см. рис. 18.5, б).

Достаточно вычислить площадь половины одного лепестка притогда

03 августа 2010